MAKALAH
HIMPUNAN RELASI DAN FUNGSI
DOSEN PEMBIMBING :
Drs Krisdianto, M.PD
DISUSUN OLEH :
1.Ismoyo Inggit Nugroho (1752000100)
2. Lina maryana (1752000108)
3. Nabila Bunnanditya (1752000092)
UNIVERSITAS
VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
TAHUN PELAJARAN 2017/2018
KATA PENGANTAR
Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih
lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya,
yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga
kami dapat menyelesaikan makalah matematika tentang Himpunan relasi dan fungsi.
Makalah matematika ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.
Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ilmiah ini.
Akhir kata kami berharap semoga makalah Matematika tentang Himpunan Relasi dan
Fungsi dapat bermanfaat bagi pembaca.
Sukoharjo, 14 oktober 2017
Penyusun
A. Himpunan
1. Definisi
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain
yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal-hal lain tersebut disebut
elemen atau unsur atau anggota himpunan.
Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan
anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … }
Contoh :
A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai
anggota b, c dan d atau dengan kata lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan
anggota himpunan A.
2. Penulisan
Himpunan
a) Bentuk Enumerasi
yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua
anggota himpunan diantara dua kurung kurawal.
Contoh :
A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup
pertama.
B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6
bilangan ganjil.
C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan
prima.
b) Notasi Pembentuk
Himpunan
yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat
anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.
Contoh :
A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.
B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.
C = { x | 10 < x < 20 , x bilangan
prima }.
c) Diagram Venn yaitu
menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan
dengan segi empat sedangkan himpunan-himpunan yang ada dilingkungannya
digambarkan dengan lingkaran.
Contoh :
3. Jenis – jenis
Himpunan
a) Himpunan koson
himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan
kosong dilambangkan dengan tanda {}
b) Himpunan semesta
himpunan yang memuat semua objek-objek yang
sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan
universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S.
c) Himpunan Bagian
Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika
setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan
B, dinotasikan dengan :AcB
artinya A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.
artinya A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.
Contoh:
A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka AcB
d) Himpunan kuasa
(Power Set)
adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu
himpunan.
Contoh :
S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0},
{1}, {0, 1} }
e) Himpunan tak
hingga
adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak
terhingga atau tidak terbatas.
Contoh:
A = { x | x adalah bilangan asli }
4. Operasi
Himpunan
a) Gabungan (Union)
Himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua
angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.
Notasi : A U B dibaca A union B.
Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = { e, f, g } maka A U B
= { a, b, c, d, e, f, g }
b) Irisan
Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari
angota-angotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu angota-angota yang
termasuk A dan juga termasuk B.
Notasi : A∩B yang dibaca ”A irisan B”
Contoh :
A = { a, b, c, d } dan B = { c, d, e,f } maka A∩B
= { c, d }
c) Selisih
Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan
dari elemen-elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.
Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau
”A kurang B”
Contoh :
A = { 1, 3, 5, 7, 8 } dan B = { 1, 2, 3, 4 } maka A –
B = { 5, 7, 8 }
d) Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari
elemen-elemen
yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan
semesta “S” dan A.
Notasi : AC = { x |x ∉ A } atau AC = { x |
x S ; S ∉ A }. AC dibaca
A komplemen.
Contoh :
S = { 1, 2, . . . 9 } dan A = { bilangan ganjil
kurang dari 9 }
maka Ac = { 2, 4, 6, 8 }.
e) Hasil kali
Cartesius
Hasil kali dua himpunan A dan B dimana semua pasangan
berurutan dengan xEA dan yEB dan dinyatakan dengan A x B.
Notasi : A x B = {(x,y) |xEA dan yEB}
Contoh :
A = { 1, 2, 3 } dan B
= { a, b } , maka A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)
5. Sifat
– sifat Himpunan
a) Sifat identitas:
· A ∪ ∅ = A
· A ∩ U
= A
b) Sifat dominasi:
· A ∩ ∅ = ∅
· A ∪ U = U
c) Sifat komplemen:
· A ∪ A = U
· A ∩ A = ∅
d) Sifat idempoten:
· A ∪ A = A
· A ∩ A
= A
·
e) Sifat involusi:
· (A=
A)
f) Sifat absorpsi:
· A ∪ (A ∩ B) = A
· A ∩ (A ∪ B) = A
g) Sifat komutatif:
· A ∪ B = B ∪ A
· A ∩ B
= B ∩ A
h) Sifat asosiatif:
· A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
· A ∩ (B ∩ C)
= (A ∩ B) ∩ C
i) Sifat distributif:
· A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
· A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
j) Sifat komplemen
· ∅ = U
· U
= ∅
B. Relasi dan Fungsi
A. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah
suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota
himpunan B.
Contoh :
Empat orang anak yaitu Ria, Rian, Reni, dan Revi
memilih jenis musik yang mereka sukai. Ternyata:
Ria dan Rian memilih musik pop.
Rian dan Reni memilih musik rock.
Rian, Reni, dan Revi memilih musik jazz.
Jika A = {Ria, Rian, Reni, Revi} dan B = {pop, rock, jazz}, maka dapat dibentuk
relasi (hubungan) antara anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota
himpunan B. Relasi yang tepat dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi
“menyukai”.
Ria dipasangkan dengan pop, berarti Ria menyukai musik pop, Rian dipasangkan
dengan pop, rock, dan jazz, berarti Rian menyukai tiga jenis musik, yaitu musik
pop, rock, dan jazz, Reni dipasangkan dengan rock dan jazz, berarti Reni
menyukai dua jenis musik, yaitu musik rock dan jazz, sedangkan Revi dipasangkan
dengan jazz, berarti Revi menyukai musik pjazz. Relasi terebut dapat
ditunjukkan dengan jelas pada gambar dibawah ini.
1. Menyatakan
Relasi
Relasi
antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah, diagram cartesius
dan himpunan pasangan berurutan.
Contoh
:
Empat
orang anak yaitu Tias, Jamal, Farid, dan Dika memilih permainan yang mereka
gemari. Ternyata:
Tias,
Jamal, dan Farid memilih permainan voli.
Jamal
dan Farid memilih permainan basket.
Farid
dan Dika memilih permainan tenis.
Jika
himpunan A = {Tias, Jamal, Farid, Dika} dan himpunan B = {voli, basket, tenis}.
Terdapat relasi gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B.
a.
Nyatakan dengan diagram panah,
b.
Nyatakan dengan diagram cartesius
c.
Nyatakan dengan himpunan pasangan berurutan.
Jawab
:
a. Diagram
Panah
b. Diagram
Cartesius
c. Himpunan
Pasangan Berurutan.
{(Tias,
Voli), (Jamal, Voli), (Jamal, Basket), (Farid, Voli), (Farid, Basket), (Farid,
Tenis), (Dika, Tenis)}
B. Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan
setiap anggota himpunan A(daerah asal atau domain), dengan tepat satu
anggota himpunan B(daerah kawan atau kodomain). Himpuan nilai yang diperoleh
disebut daerah hasil (range).
Contoh
:
Hardi
adalah anak Pak Manan, Nanda anak Pak Udin, Indri dan Aldi anak Pak
Drajat. Jika himpunan A = {Hardi, Nanda, Indri, Aldi} dan himpunan B = {Manan,
Udin, Drajat}. Terdapat relasi anak dari himpunan A ke himpunan B, fungsi
tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.
Menyatakan
Fungsi
Menyatakan fungsi dalam diagram panah, diagram cartesius, dan pasangan
berurutan
Contoh :
Misalkan
A = {1, 2, 3} dan B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}. Jika fungsi f : A → B
ditentukan dengan f(x) = 6 – 3x. Nyatakan dalam diagram panah, diagram
cartesius, dan pasangan berurutan
Penyelesaian
:
f(1)
= 6 – 3 (1) = 6 – 3= 3
f(2)
= 6 – 3(2) = 6 – 6 = 0
f(3)
= 6 – 3(3) = 6 – 9 = -3
Diagram
Panah
Diagram
Cartesius
Himpunan
Pasangan Berurutan
{(1,
3), (2, 0), (3, -3)}
KESIMPULAN
Himpunan
sebagai suatu kumpulan dari objek - objek yang didefinisikan dengan jelas.
Objek objek dari himpunan didefinisikan dengan jelas, dimaksudkan suatu objek
dapat ditentukan dengan pasti untuk masuk dalam himpunan tersebut atau tidak
termasuk dalam himpunan tersebut.
Suatu
himpunan dapat dituliskan dengan tiga cara :
a. Enumerasi
b. Notasi
pembentuk himpunan
c. Diagram
venn
Himpunan
dapat dibedakan menjadi lima macam yaitu :
a. Himpunan
kosong
b. Himpunan
semesta
c. Himpunan
bagian
d. Himpunan
kuasa (power set)
e. Himpunan
tak hingga
Relasi
Jika
A dan B himpunan yang diketahui dan ditentukan suatu relasi R dari A ke B maka
relasi R merupakan himpunan bagian A x B. Sedangkan daerah definisi atau domain
B dari relasi R adalah himpunan bagian dari A yang terdiri dari semua elemen
pertama dari pasangan terurut anggota R. Sedangkan daerah hasil (daerah nilai)
atau Rg dari relasi R terdiri dari semua elemen kedua dari pasangan terurut
anggota R.
Pernyataan
relasi
Suatu
relasi R dapat dinyatakan dalam beberapa cara yaitu :
a. Pasangan
terurut
b. Diagram
panah
c. Diagram
kartesius (grafik)
ConversionConversion EmoticonEmoticon